זוויות בין ישרים מקביליםגאומטריה 571 · שיעור 2

גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות

שיעור 2: זוויות בין ישרים מקבילים

פרק 1 · זוויות וישרים מקבילים

1חותך: זוויות מתאימות, מתחלפות וחד־צדדיות

2שלושה משפטים על זוויות בין ישרים מקבילים

34 תרגילים פתורים, מהקל ועד תרגיל מורכב

הגדרות

ישר שחותך שני ישרים: 8 זוויות

הישר EF חותך את הישרים AB ו־CD

לישר EF קוראים חותך

נוצרות 8 זוויות: 4 ליד הישר AB ו־4 ליד הישר CD

∢1 ו־∢5 זוויות מתאימות

שתיהן מעל הישר ומימין לחותך

גם ∢2 ו־∢6 גם ∢3 ו־∢7 וגם ∢4 ו־∢8

זוגות של זוויות מתאימות

∢3 ו־∢5 זוויות מתחלפות

בין הישרים, משני צדי החותך (צורת Z)

גם ∢4 ו־∢6 מתחלפות

אותה סיבה

∢4 ו־∢5 זוויות חד־צדדיות

בין הישרים, באותו צד של החותך

גם ∢3 ו־∢6 חד־צדדיות

אותה סיבה

📐 הגדרה

חותך: ישר שחותך שני ישרים אחרים

📐 הגדרה

זוויות מתאימות: באותו מקום בכל אחת משתי נקודות החיתוך

📐 הגדרה

זוויות מתחלפות: בין שני הישרים, משני צדי החותך

📐 הגדרה

זוויות חד־צדדיות: בין שני הישרים, באותו צד של החותך

משפטים

כשהישרים מקבילים

נתון: AB ∥ CD (מסמנים בשרטוט חצים על הישרים)

משפט 1: בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות

משפט 2: בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות

למה משפט 2 נכון? מוכיחים בעזרת משפט 1:

∢3 = ∢1

זוויות קדקודיות

∢1 = ∢5

זוויות מתאימות בין מקבילים

∢3 = ∢5

שתיהן שוות ל־∢1

משפט 3: בין ישרים מקבילים סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות

∢4 + ∢1 = 180

זוויות צמודות

∢4 + ∢5 = 180

מציבים ∢5 במקום ∢1 (הן שוות)

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות

📐 משפט

זוויות קדקודיות שוות זו לזו

∢1 = ∢3

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

תרגיל 1 · זוויות מתאימות · קל

AB ∥ CD והישר EF חותך אותם בנקודות G ו־H
נתון: ∢EGB = 70
מצאו את ∢GHD ואת ∢CHG

AB ∥ CD ו־∢EGB = 70

נתון

∢EGB ו־∢GHD זוויות מתאימות

שתיהן מעל הישר ומימין לחותך

∢GHD = ∢EGB

בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות

∢GHD = 70

מציבים ∢EGB = 70

∢CHG + ∢GHD = 180

זוויות צמודות

∢CHG = 180 − 70 = 110

מעבירים את 70 לאגף השני

✅ פתרון סופי: ∢GHD = 70 מעלות , ∢CHG = 110 מעלות

📐 הגדרה

זוויות מתאימות: באותו מקום בכל אחת משתי נקודות החיתוך

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

תרגיל 2 · זוויות מתחלפות · עם משוואה

AB ∥ CD והישר EF חותך אותם בנקודות G ו־H
נתון: ∢AGH = 2x + 10 ו־∢GHD = 3x − 25
מצאו את x ואת ∢AGH

AB ∥ CD

נתון

∢AGH = 2x + 10 ו־∢GHD = 3x − 25

נתון

∢AGH ו־∢GHD זוויות מתחלפות

בין הישרים, משני צדי החותך

∢AGH = ∢GHD

בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות

2x + 10 = 3x − 25

מציבים את הביטויים

10 + 25 = 3x − 2x

מעבירים אגפים ומחליפים סימן

35 = x

כינוס איברים דומים

∢AGH = 2 · 35 + 10 = 80

מציבים x = 35

בדיקה: ∢GHD = 3 · 35 − 25 = 80 ✔

יצא שווה – נכון

✅ פתרון סופי: x = 35 , ∢AGH = 80 מעלות

📐 הגדרה

זוויות מתחלפות: בין שני הישרים, משני צדי החותך

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים

תרגיל 3 · זוויות חד־צדדיות · עם משוואה

AB ∥ CD והישר EF חותך אותם בנקודות G ו־H
נתון: ∢BGH = 4x + 20 ו־∢GHD = x + 10
מצאו את x ואת שתי הזוויות

AB ∥ CD

נתון

∢BGH = 4x + 20 ו־∢GHD = x + 10

נתון

∢BGH ו־∢GHD זוויות חד־צדדיות

בין הישרים, באותו צד של החותך

∢BGH + ∢GHD = 180

בין מקבילים: סכום חד־צדדיות 180

(4x + 20) + (x + 10) = 180

מציבים את הביטויים

5x + 30 = 180

כינוס איברים דומים

5x = 180 − 30 = 150

מעבירים את 30 לאגף השני

x = 150 : 5 = 30

מחלקים את שני האגפים ב־5

∢BGH = 4 · 30 + 20 = 140

מציבים x = 30

∢GHD = 30 + 10 = 40

מציבים x = 30 (בדיקה: 140 + 40 = 180 ✔)

✅ פתרון סופי: x = 30 , ∢BGH = 140 , ∢GHD = 40

📐 הגדרה

זוויות חד־צדדיות: בין שני הישרים, באותו צד של החותך

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות

📐 כלל

כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

תרגיל 4 · מורכב · קדקודיות + מתאימות + צמודות

AB ∥ CD והישר EF חותך אותם בנקודות G ו־H
נתון: ∢AGE = 2x + 30 ו־∢DHF = 4x − 10
מצאו את x ואת ∢GHD

AB ∥ CD

נתון

∢AGE = 2x + 30 ו־∢DHF = 4x − 10

נתון

∢BGH = ∢AGE = 2x + 30

זוויות קדקודיות שוות

∢BGH = ∢DHF

בין מקבילים זוויות מתאימות שוות (שתיהן מתחת לישר, מימין לחותך)

2x + 30 = 4x − 10

מציבים את הביטויים

30 + 10 = 4x − 2x

מעבירים אגפים ומחליפים סימן

40 = 2x

כינוס איברים דומים

x = 40 : 2 = 20

מחלקים את שני האגפים ב־2

∢DHF = 4 · 20 − 10 = 70

מציבים x = 20 (בדיקה: 2 · 20 + 30 = 70 ✔)

∢GHD + ∢DHF = 180

זוויות צמודות

∢GHD = 180 − 70 = 110

מעבירים את 70 לאגף השני

✅ פתרון סופי: x = 20 , ∢GHD = 110 מעלות

📐 משפט

זוויות קדקודיות שוות זו לזו

∢1 = ∢3

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות

💡 בכל תרגיל: מסמנים את הנתון בשרטוט, מזהים איזה זוג זוויות זה (מתאימות, מתחלפות או חד־צדדיות), ורק אז משתמשים במשפט.

בשיעור הבא: הפוך – איך מוכיחים שישרים מקבילים

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא